ÉQUATION DE LA FUSÉE
ÉQUATION DE TSIOLKOVSKI
RÉDACTION : RÉGIS GALMICHE
ATELIER INFORMATIQUE & ATELIER SCIENCES
Cette loi est la suivante : P = M x V
où
P
est la quantité
de mouvement
M
la masse
du système isolé
V
la vitesse
du système isolé
Avant allumage du moteur au temps t = 0, la masse de la fusée vaut M et sa vitesse est nulle.
Après allumage du moteur au temps t = t1, la masse de la fusée a diminué d’une quantité dm, qui correspond à la masse éjectée par le moteur. (Le carburant liquide a été transformé en gaz par le moteur). La vitesse de la fusée n’est plus nulle et vaut V.
Examinons la fusée en cours de fonctionnement, par exemple, on suppose que la fusée est en vol et que le moteur soit éteint.
A cet instant, que nous appellerons t, la vitesse de la fusée vaut V et sa masse totale vaut M. (La masse totale est constituée de la structure métallique et de la masse du carburant, voire en plus, celle des astronautes…)
A cet instant t on décide de rallumer le moteur, à un instant plus tard, que nous appellerons t1, la vitesse de la fusée a augmenté de V + dv et sa masse a diminué de M – dm.
A t1, la masse éjectée par le moteur est dm. Cette masse a été éjecté par le moteur à la vitesse Ve (c’est-à-dire la vitesse d’éjection des gaz, on suppose que cette vitesse est constante tout au long du vol)
Si on applique la loi mentionnée ci-dessus :
À l’instant t, on a : P = M x V
À l’instant t1, on a : P = (M – dm) x (V – dv) + dm x (V + dv – Ve)
En effet, vu d’un observateur extérieur, la vitesse d’éjection des gaz vaut V + dv – Ve, où V + dv est la vitesse de la fusée et Ve la vitesse d’éjection des gaz par rapport au moteur.
Comme la quantité de mouvement est constante, elle est la même à chaque instant, on peut donc écrire que la quantité de mouvement à l’instant t est identique à la quantité de mouvement à l’instant t1 , on a donc :
M x V = (M – dm) x (V – dv) + dm x (V + dv – Ve)
M x V = M x V + M x dv – dm x V – dm x dv + dm x V + dm x dv – dm x Ve
Après simplification, on obtient finalement:
0 = M x dv – dm x Ve
Soit:
dv = Ve x dm / M
Voyons un exemple pratique sur 10 secondes
avec les caractéristiques de la fusée Saturn V
Ve : 2580 m/s (Vitesse d’éjection des moteurs F-1 Rocketdyne du 1er étage de Saturn V)
Nombre de moteur :
5
Masse totale du carburant
du premier étage brulée
en 10 secondes:
132 733
kg de propergol
Masse de la fusée
au décollage
3 038 000
KG
Masse de la fusée après l’extinction des 5 moteurs du premier étage 10 secondes après le décollage:
3 038 000 KG – 132 733 KG soit 2 905 267 KG
Crayons, Cinema 4D et After Effects ont été utilisés pour la rédaction de cette article.
– P
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Régis Galmiche pour la rédaction et Pascal Demure pour l'illustration - Informatique
- 14 avril, 2011
TEMPS PASSÉ :
62H
CONCEPTION, MODÉLISATION, RÉALISATION ET RÉDACTION
